SOCIOLOGIA | Desigualdades Sociais

• Desigualdades Sociais     -      Desenvolvimento e Subdesenvolvimento.

→ Atualmente, as sociedades são classificadas em desenvolvidas e subdesenvolvidas. O que marca essa classificação são os índices econômicos que envolvem o número de empregados, educação e renda per-capta, porém, estes marcadores são variáveis, e podem mascarar uma realidade a qual estão inseridos.

PIB (brasileiro) → Desenvolvido
Renda Per-Capta + Desemprego → Subdesenvolvido

• Processo histórico
→ Desenvolvidos: Tiveram uma industrialização a mais de 5 gerações ou foram colônias de povoamento.
→ Subdesenvolvidos: Foram colônias de exploração.

MATEMÁTICA | Função Exponencial

• Revendo a Potenciação

→ Potenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural).

Exemplo:

3² (leia-se “três elevado ao quadrado”, ou “três elevado à segunda potência” ou ainda “três elevado à dois”).

No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo. Ficando: 3.3 = 9.
Então 3³ = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27

Algumas outras definições que podem ser utilizadas:
a¹ = a
a⁰ = 1, a ≠ 0

Propriedades

1 – Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes:
aⁿ . a^m = a^n+m


2 – Divisão de potências de bases iguais – mantenha a base e subtraia os expoentes:
(aⁿ) / (a^m) = a^n-m , “a” diferente de zero.

3 – Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes:
(a^m)ⁿ = a^{m . n}
Atenção
As potências abaixo NÃO são iguais:
(a^m)ⁿ
e
a^mn
na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar m à n, e depois elevar a ao resultado da operação anterior.

4 – (a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ


5 – (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ , “b” diferente de zero.
Potenciação com números negativos

Observe os exemplos abaixo:
(-3)² = 9
-3² = -9
O sinal de negativo ( – ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado.
Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo:

(-3)³ = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27
se tirarmos os parênteses

-3³ = – 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27
•  ou 

Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.

De modo geral, definimos:
 , com a  R,m,n,  N, a >0, n>0, m>0

Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:


→ Propriedade das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros.
Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

Exemplo:


• Equações Exponenciais

As equações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Observe os exemplos:
2^x = 256
3^x+1 = 9
4^x = 1024
2^x+2 = 512

As equações exponenciais possuem um método de resolução diferenciado, precisamos igualar as bases para aplicarmos a propriedade de igualdade entre os expoentes. Observe a resolução da seguinte equação:

5^x = 625 (fatorando 625 temos: 5⁴) 
5^x = 5⁴
x = 4
A solução da equação exponencial será x = 4.

Observação: fatorar significa decompor o número em fatores primos, isto é, escrever o número através de uma multiplicação de fatores iguais utilizando as regras de potenciação.


Acompanhe outro exemplo:

Vamos determinar a solução da equação 2^{x + 8} = 512.

Devemos escrever 512 na forma fatorada, 512 = 2⁹.
Então:
2^{x + 8} = 2⁹
x + 8 = 9
x = 9 – 8
x = 1
A solução da equação exponencial 2^{x + 8} = 512 é x = 1.


Exemplo 3

Resolva a equação  .
Transforme a raiz quinta em potência:
2^x = 128^1/5

Pela fatoração do número 128 temos 27, então:
2^x = (2⁷)^1/5
x = 7 . 1/5
x = 7/5
Portanto, a solução da equação exponencial  é x = 7/5.


Exemplo 4 
Encontre o valor de x que satisfaça a equação exponencial 2^{x² - 7x + 12} = 1.

Para igualar as bases, vamos lembrar a regra da potenciação que diz o seguinte: “todo número diferente de zero elevado a zero é igual a 1.”
Com base na regra, podemos dizer que 1 = 2⁰, então:

2^{x² - 7x + 12} = 2⁰
x² - 7x + 12 = 0, temos uma equação completa do 2º grau que deverá ser resolvida pelo teorema de Bháskara. Aplicando o método resolutivo descobrimos os seguintes valores:
x’ =  3 e x” = 4.
Portanto, os valores que satisfazem a equação exponencial 2^{x² - 7x + 12} = 1 é x = 3 e x = 4.